以理想气体为工作物质的可逆卡诺循环，其热效率仅取决于高温及低温两个热源的温度。以热力学第二定律为基础，可以将之推广为适用于任意可逆循环的普遍结论，称为“卡诺定理”。卡诺定理在导出热力学第二定律的普遍判据--状态函数 "S"--中具有重要作用。 热力学第二定律否定了第二类永动机，效率为1的热机是不可能实现的，那么热机的最高效率可以达到多少呢？从热力学第二定律推出的卡诺定理正是解决了这一问题。卡诺认为：“所有工作于同温热源与同温冷源之间的热机，其效率都不能超过可逆机” ，这就是卡诺定理。

• 表述
  卡诺定理是卡诺1824年提出来的，其表述如下：
  ⑴在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切可逆热机，其效率都相等，与工作物质无关，与可逆循环的种类也无关。
  ⑵在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切不可逆热机，其效率都小于可逆热机的效率。
• 卡诺介绍

  原理解释

  设在两个热源之间，有可逆机R（即卡诺机）和任意的热机I在工作（图2.2）。调节两个热机使所作的功相等。可逆机及从高温热源吸热Ql，作功W，放热（Ql-W）到低温热源，其热机效率为 ηk = W/QI（图中所示是可逆机R倒开的结果）。
  另一任意热机I，从高温热源吸热Q1’，作功W，放热（Q1’-W）到低温热源，其效率为
  ηI = W/Q1’
  先假设热机I的效率大于可逆机R（这个假设是否合理，要从根据这个假定所得的结论是否合理来检验）。即
  ηI > ηk，
  因此得
  Ql > Q1’
  今若以热机I带动卡诺可逆机R，使R逆向转动，卡诺机成为致冷机，所需的功W由热机I供给，如图2.2所示：及从低温热源吸热（Ql-W），并放热Ql到高温热源。整个复合机循环一周后，在两机中工作的物质均恢复原态，最后除热源有热量交换外，无其它变化。
  从低温热源吸热：
  （Ql - W) - (Q1’ - W) = Ql-Q1’ > 0
  高温热源得到的热：
  Ql-Q1’
  净的结果是热从低温传到高温而没有发生其它的变化。这违反热力学第二定律的克劳修斯说法。所以最初的假设ηI>；ηk不能成立。因此应有
  ηI≤ηk (2.1)
  这就证明了卡诺定理。
  根据卡诺定理，可以得到如下的推论：“所有工作于同温热源与同温冷源间的可逆机，其热机效率都相等”。可证明如下：假设两个可逆机Rl和R2，在同温热源与同温冷源间工作。若以Rl带动Rl，使其逆转，则由式（2.1）知
  ηR1≤ηR2 (2.2)
  反之，若以R2带动Rl，使其逆转，则有
  ηR1≥ηR2 (2.3)
  因此，若要同时满足式（2.2）和（2.3），则应有
  ηR1=ηR2 (2.4)
  由此得知，不论参与卡诺循环的工作物质是什么，只要是可逆机，在两个温度相同的低温热源和高温热源之间工作时，热机效率都相等，即任意热机I是可逆机时，式（2.1）用等号，I是不可逆机时用不等号。在上述证明中，并不涉及工作物质的本性，因而与工作物质的本性无关。在明确了ηR与工作物质的本性无关后，我们就可以引用理想气体卡诺循环的结果了。

  意义

  卡诺定理虽然讨论的是可逆机与不可逆机的热机效率问题，但它具有非常重大的意义。它在公式中引入了一个不等号。前已述及所有的不可逆过程是互相关联的。由一个过程的不可逆性可以推断到另一个过程的不可逆性，因而对所有的不可逆过程就可以找到一个共同的判别准则。由于热功交换的不可逆，而在公式中所引入的不等号，这对于其它过程（包括化学过程）同样可以使用。就是这个不等号解决了化学反应的方向问题。同时，卡诺定理在原则上也解决了热机效率的极限值问题。

  卡诺循环的构成

  热力学第二定律指出，热机的热效率不可能达到100%。那么，在一定条件下，热机的热效率最大能达到多少？它又与哪些因素有关？法国工程师卡诺（S. Carnot）在深入考察了蒸汽机工作的基础上，于1824年提出了一种理想的热机工作循环—卡诺循环。
  设一热机中有一定量的工质，工作在温度分别为T1和T2的两恒温热源间。卡诺循环由两个可逆的定温过程和两个可逆的绝热过程（定熵）组成
  四个过程的顺序如下：
  定温膨胀过程a-b：工质在定温T1下，从高温热源吸热Q1并作膨胀功Wo。
  定熵膨胀过程b-c：工质在可逆绝热条件下膨胀，温度由T1降到T2。
  定温压缩过程c-d：工质在定温T1下被压缩，过程中将热量Q2传给低温热源。
  定熵压缩过程d-a；工质在可逆绝热条件下被压缩，温度由T2升高至T1，过程终了时，工质的状态回复到循环开始的状态a。

  逆卡诺循环

  如果沿卡诺循环相反的方向进行，就形成卡诺制冷循环和卡诺热泵循环。
  对于卡诺制冷循环，工质可逆定温从温度为T2冷库吸热，被可逆绝热压缩后，可逆定温向温度为T1环境介质放热，最后可逆绝热膨胀，进入冷库，完成循环。其制冷系数
  对于卡诺热泵循环，工质可逆定温从低温热源T2，如环境介质吸热，被可逆绝热压缩后，可逆定温向高温热源T1，如建筑物室内放热，最后可逆绝热膨胀，完成循环。其供暖系数或热泵工作性能系数
  应当指出，逆卡诺循环虽然实际上不能实现，但却为提高制冷机和热泵的完善程度指明了方向，仍具有重要的理论意义。
  图 4-2 卡诺定理证明用图

  对于第一定理的证明

  下面用反证法对第一定理进行证明：假设在温度为T1的高温热源与温度为T2的低温热源间工作有两个任意的可逆热机R1和R2，如图4－2(a）所示，其热效率分别为和。假如，则当两个热机从高温热源吸取的热量都为Q1时，根据热效率的定义可知， ，。这时可让热机R1按正向循环工作，用输出功中的一部分 带动热机R2逆向循环工作，如图4－2(b）所示。联合运行的结果是每一循环从低温热源吸收热量，对外作功，高温热源没有任何变化，相当于一台单一热源的第二类永动机。这显然违背了热力学第二定律，因此是不可能的。同样可以证明，也是不可能的。于是只有一种可能性，即。由于上述证明没有限定工质的性质，所以结论对使用任何工质的可逆热机都适用。定理二可以同样采用反证法证明，思路与定理一的证明相同。
• 卡诺（数学）
  三角形外心到各边距离之和等于外接圆半径与内接圆半径之和，这一定理称为卡诺定理，在推断李代数等领域中的三角形性质中有重要作用。

  引理

  在外接圆半径为R，内接圆半径为r的三角形ABC中，r和R有如下关系：

  证明

  假设ABC为外心为D的锐角三角形，外心到AB、BC、AC的距离分别为DG、DH、DF，则在三角形HDB中，由外心性质可得
  DB=R
  角HDB=角A
  由此，DH的表达式为
  DH=RcosA
  同理DG=RcosC、DF=RcosB。
  因此，
  根据引理，得证
  DG+DH+DF=R+r
  当ABC为钝角三角形，且角B大于90°时，则有
  DH=RcosA
  DF=Rcos(π-B)=-RcosB
  DG=RcosC
  所以DG+DH-DF=R(cosA+cosB+cosC)=R+r，结论相同，卡诺定理得证。