垂径定理内容：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如右图，DC为圆O的直径，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，劣弧AC等于劣弧BC。 作用：求线段长度。

• 定义
  垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
  逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
• 证明
  如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
  

  垂径定理证明图

  证明：连OA、OB分别交于点A、点B.
  ∵OA、OB是⊙O的半径
  ∴OA=OB
  ∴△OAB是等腰三角形
  ∵AB⊥DC
  ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）
  ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC
  ∴弧AC=弧BC
• 推论
  推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
  推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
  推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
  推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
  (证明时的理论依据就是上面的五条定理)
  但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
  一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
  1.平分弦所对的优弧
  2.平分弦所对的劣弧
  （前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
  3.平分弦 (不是直径)
  4.垂直于弦
  5.经过圆心
• 有关性质

  知识点

  圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质

  大纲要求

  1． 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；
  2． 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；
  3． 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；
  4． 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
  5． 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题；
  6． 注意：
  （1）垂径定理及其推论是指：一条弦在
  ①过圆心
  ②垂直于另一条弦
  ③平分这另一条弦
  ④平分这另一条弦所对的劣弧
  ⑤平分这另一条弦所对的优弧的
  五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；
  （2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；
  （3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。
• 常见题型
  1． 判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解。
  如：下列语句中，正确的有（ ）
  (A)相等的圆心角所对的弧相等 (B)平分弦的直径垂直于弦
  (C)长度相等的两条弧是等弧(D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
  答案为D，
  解析：
  其中A和C都少了同圆的限定条件。如果是两个半径不同的圆内，即使是弧对应圆心角相等或弧的长度相等也不能得到弧相等。
  B错在弦可以是特殊弦：直径。如果是直径平分直径，结论是直径并不都相互垂直。
  2． 论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。
  此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。
  二，〖知识点〗
  相交弦定理、切割线定理及其推论
  〖大纲要求〗
  1． 正误相交弦定理、切割线定理及其推论；
  2． 了解圆幂定理的内在联系；
  3． 熟练地应用定理解决有关问题；
  4． 注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物。这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；
  （2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。
  考查重点与常见题型
  证明等积式、等比式及混合等式等。此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中。